Système d'équations différentielles en dimension 2

Définition

Système d'équations différentielles en dimension $2$ : $$\begin{cases}\cfrac{dx}{dt}=ax-bxy-ex^2\\ \cfrac{dy}{dt}=-cy+dxy\end{cases}$$
Avec :

$(x(0),y(0))\in({\Bbb R}^+)^2$
$a,b,c,d,e\gt 0$
$\frac ae\lt \frac cd$

Modélisation

Le système d'équations différentielles $\begin{cases}\cfrac{dx}{dt}=ax-bxy-ex^2\\ \cfrac{dy}{dt}=-cy+dxy\end{cases}$ représente un système proie-prédateur ($x$ est le nombre de proies, $y$ le nombre de prédateurs)
$e$ est un coefficient logistique, qui représente la limite des ressources (modèle de Lotka-Voltera)
(Modèle de Lotka-Voltera)
On peut modéliser le système d'équations différentielles $\begin{cases}\cfrac{dx}{dt}=ax-bxy-ex^2\\ \cfrac{dy}{dt}=-cy+dxy-fy^2\end{cases}$ comme $${{Y^\prime(t)=F(Y(t))}}\quad\text{ avec }\quad {{Y(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\ y(t)\end{pmatrix}}}$$
Ainsi, $$F(Y)={{\begin{cases} ax-bxy-ex^2\\ -cy+dxy\end{cases}}}\quad\text{ avec }\quad {{Y=\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}}}$$
Avec $F$ de classe $\mathcal C^\infty$, donc lipschitzienne, donc on a unicité de la solution maximale sur $]T^-,T^+[\;\ni0$
Trajectoire

Résolution

Pour un système d'EDO d'ordre $2$, on a :

existence et unicité d'une solution maximale définie sur $]T^-,T^+[$ (définis via Théorème d'explosion - Théorème des bouts - Théorème de sortie de tout compact)
$\forall x_0,y_0\gt 0,\qquad x(t),y(t)\in({\Bbb R}^+)^2$
$T^+\lt +\infty$

Limite

Pour un système d'EDO d'ordre $2$, si $\frac ae\lt \frac cd$, on a $$(x(t),y(t))\underset{t\to+\infty}\longrightarrow{{\left(\frac ae,0\right)}}$$

Math'φsics

Formulaire de report

Définition

Modélisation

Résolution

Limite